矩陣相乘是線性代數中的重要概念，也是計算機圖形學、機器學習等領域中常用的操作。本文將介紹矩陣相乘的計算方法，以及如何用代碼實現。

一、矩陣相乘的定義

矩陣相乘是指將兩個矩陣相乘得到一個新的矩陣的操作。設矩陣A為m行n列，矩陣B為n行p列，則它們的乘積C為一個m行p列的矩陣，其中C的第i行第j列元素為：

C(i,j) = A(i,1)B(1,j) + A(i,2)B(2,j) + ... + A(i,n)B(n,j)

二、矩陣相乘的計算方法

矩陣相乘的計算方法有多種，下面介紹兩種常用的方法。

1. 基本方法

基本方法是按照矩陣相乘的定義進行計算。具體步驟如下：

（1）確定新矩陣C的行數和列數，即C為m行p列的矩陣。

（2）對于C的每個元素C(i,j)，按照定義計算其值。

（3）將計算得到的值填入C(i,j)中。

基本方法的時間復雜度為O(mnp)，效率較低，不適用于大規模矩陣相乘。

2. Strassen算法

Strassen算法是一種分治算法，可以將矩陣相乘的時間復雜度降低到O(n^log2(7))，適用于大規模矩陣相乘。具體步驟如下：

（1）將矩陣A和B分別劃分為四個大小相等的子矩陣：

A = [A11 A12] B = [B11 B12]

[A21 A22] [B21 B22]

（2）計算七個矩陣的乘積：

P1 = A11(B12 - B22)

P2 = (A11 + A12)B22

P3 = (A21 + A22)B11

P4 = A22(B21 - B11)

P5 = (A11 + A22)(B11 + B22)

P6 = (A12 - A22)(B21 + B22)

P7 = (A11 - A21)(B11 + B12)

（3）計算新矩陣C的四個子矩陣：

C11 = P5 + P4 - P2 + P6

C12 = P1 + P2

C21 = P3 + P4

C22 = P5 + P1 - P3 - P7

（4）將四個子矩陣組合成新矩陣C。

三、矩陣相乘的代碼實現

下面給出基本方法和Strassen算法的Python代碼實現。

1. 基本方法

def matrix_multiply(A, B):

m, n = len(A), len(A[0])

p, q = len(B), len(B[0])

if n != p:

raise ValueError(\"矩陣A的列數不等于矩陣B的行數\")

C = [[0] * q for i in range(m)]

for i in range(m):

for j in range(q):

for k in range(n):

C[i][j] += A[i][k] * B[k][j]

return C

2. Strassen算法

def matrix_multiply_strassen(A, B):

m, n = len(A), len(A[0])

p, q = len(B), len(B[0])

if n != p:

raise ValueError(\"矩陣A的列數不等于矩陣B的行數\")

if m == 1 and n == 1 and p == 1 and q == 1:

return [[A[0][0] * B[0][0]]]

else:

m2 = m // 2

n2 = n // 2

p2 = p // 2

q2 = q // 2

A11 = [A[i][:n2] for i in range(m2)]

A12 = [A[i][n2:] for i in range(m2)]

A21 = [A[i][:n2] for i in range(m2, m)]

A22 = [A[i][n2:] for i in range(m2, m)]

B11 = [B[i][:q2] for i in range(p2)]

B12 = [B[i][q2:] for i in range(p2)]

B21 = [B[i][:q2] for i in range(p2, p)]

B22 = [B[i][q2:] for i in range(p2, p)]

P1 = matrix_multiply_strassen(A11, matrix_subtract(B12, B22))

P2 = matrix_multiply_strassen(matrix_add(A11, A12), B22)

P3 = matrix_multiply_strassen(matrix_add(A21, A22), B11)

P4 = matrix_multiply_strassen(A22, matrix_subtract(B21, B11))

P5 = matrix_multiply_strassen(matrix_add(A11, A22), matrix_add(B11, B22))

P6 = matrix_multiply_strassen(matrix_subtract(A12, A22), matrix_add(B21, B22))

P7 = matrix_multiply_strassen(matrix_subtract(A11, A21), matrix_add(B11, B12))

C11 = matrix_add(matrix_subtract(matrix_add(P5, P4), P2), P6)

C12 = matrix_add(P1, P2)

C21 = matrix_add(P3, P4)

C22 = matrix_subtract(matrix_subtract(matrix_add(P5, P1), P3), P7)

C = [[0] * q for i in range(m)]

for i in range(m2):

for j in range(q2):

C[i][j] = C11[i][j]

for i in range(m2):

for j in range(q2, q):

C[i][j] = C12[i][j - q2]

for i in range(m2, m):

for j in range(q2):

C[i][j] = C21[i - m2][j]

for i in range(m2, m):

for j in range(q2, q):

C[i][j] = C22[i - m2][j - q2]

return C

def matrix_add(A, B):

return [[A[i][j] + B[i][j] for j in range(len(A[0]))] for i in range(len(A))]

def matrix_subtract(A, B):

return [[A[i][j] - B[i][j] for j in range(len(A[0]))] for i in range(len(A))]

四、總結

矩陣相乘是線性代數中的重要概念，也是計算機圖形學、機器學習等領域中常用的操作。本文介紹了矩陣相乘的定義、計算方法和代碼實現，希望能對讀者有所幫助。

來源：閆寶龍博客（微信/QQ號：18097696），轉載請保留出處和鏈接！

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